研究分野のご紹介

福田研究室では，実解析・測度論を基盤として， 非加法的測度，メビウス変換， Choquet（ショケ）積分を中心に研究を行っています。 従来の「確率・積分」の枠組みを拡張し，あいまいさや相互作用をもつ評価を 数学的に記述・解析することが主なテーマです。

1. 非加法的測度（Non-additive Measures）

1-1. なぜ「非加法的」なのか？

高校や学部で学ぶ測度・確率では，集合 A と B が重なっていないとき （A ∩ B = ∅）には
μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B)
という加法性が成り立つことを仮定します。

しかし，現実の評価や意思決定では，

• 2つの要因が相乗効果を持つ（「一緒だとより高く評価したい」）
• 似た要因が重なっているので割引きたい

といった理由で，単純な足し算では表現しにくいことが多くあります。 このような状況で使われるのが 非加法的測度（capacity, fuzzy measure など） です。

1-2. 研究の視点

福田研究室では，特に次のような性質に注目しています。

• k-加法性： 「小さい集合まで見れば十分」という考え方に基づく有限次元的な構造
• 零加法性（null additivity）： 「無視してよい部分」がどのように振る舞うかという性質
• 一様構造・位相構造： 非加法的測度の空間や，それに関する関数空間に， どのような距離・位相を入れればよいか

これらの性質を組み合わせることで， 非加法的測度を扱いやすくする「基礎理論づくり」を進めています。

2. メビウス変換（Möbius Transform）

2-1. 集合関数のフーリエ変換のようなもの

有限集合上の集合関数 μ に対して， メビウス変換は
m(A) = ΣB⊆A (-1)|A|-|B| μ(B)
のような形で定義される「係数の取り換え」です。 フーリエ変換が「時間領域」と「周波数領域」を結ぶのと同じように， 集合関数を別の座標系で見るための道具と考えられます。

2-2. 何がうれしいのか？

• メビウス係数 m(A) が 0 になる集合の大きさを制限すると， k-加法性 のような性質を簡潔に表現できる
• Choquet 積分などが， メビウス係数を使った「線形結合」として書けるため， 統計的推定や回帰解析に応用できる
• 非加法的測度の構造を，より「局所的な寄与」の集まりとして理解できる

2-3. 研究テーマ

• 非加法的測度に対するメビウス変換の一般化（非離散化・公理化）
• 変動有界性や Jordan 分解といった解析的性質との対応
• ゲーム理論や情報融合におけるパラメータ化・推定への応用

3. Choquet 積分（Choquet Integral）

3-1. 「重み付き平均」の拡張

通常の積分は，確率測度（加法的）に対する平均値と見ることができます。 Choquet 積分は，これを非加法的測度に対して拡張した積分で， 「重み付き平均」でありながら，

• 要因の相乗効果や冗長性
• 「重要度」と「出現順序」の組み合わせ

などを表現できるのが特徴です。

3-2. 研究の方向性

• Choquet 積分に基づく L^p 型関数空間 の構成と， その位相線形構造（一様構造・開球の性質）の解析
• 分割型積分（Pan 積分など）との比較を通じた 収束定理や連続性条件の整理
• 非加法的測度に対する積分の「良い性質」がどこまで保存されるか， という純粋数学的な問題

4. 応用と今後の展望

これらの理論は，もともと 意思決定・ファジィ理論・協力ゲーム などで用いられてきたものです。 研究室では，こうした応用とのつながりを意識しつつも， 次のような「基礎に近い問い」に取り組んでいます。

• 加法性を捨ててもなお成立する収束定理・積分の構造は何か？
• 非加法的測度に関する関数空間は， どこまで古典的な L^p 空間に似た性質を持ち得るのか？
• Stone 空間やブール代数などの位相的構造と， 非加法的測度との間にどのような対応があるか？

こうした問題に取り組むことで， 「あいまいな情報」「相互作用のある要因」を扱うための 新しい解析学の枠組みを作ることを目指しています。

※ 数式を含むより詳しい説明や，最近の研究成果については， 「業績（日本語）」「Publications (English)」のページもあわせてご覧ください。