大分大学解析セミナー

第19回 大分大学 解析セミナー

日時：2025年7月26日(土) 15:30～17:00

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：赤木　剛朗 氏（東北大学）

題目：有界領域における Fast Diffusion 方程式の解の漸近形について

要旨： プラズマ拡散のモデルに由来する Fast Diffusion 方程式に関しては, 解が有限時間で完全に消滅する現象 (finite-time extinction) が起きることが知られている. 1980 年頃, J.B. Berryman と C.J. Holland は有界領域上の Cauchy-Dirichlet 問題を考え, (技術的な仮定の下で) 解の消滅レートを特定し, さらに解の漸近形について考察する先駆的な論文を発表した. その後, 多くの研究が後に続いたが, 最近も Berryman と Holland の論文に現れる技術的な問題が T. Jin と J. Xiong によって完全に解決されるなど, 依然としてアクティブな研究領域である. 特に 2021 年の M. Bonforte と A. Figalli の論文は解の漸近形への収束に関する定量的な解析にブレイクスルーをもたらし, 現在もそのインパクトは広がっている. 本講演ではこれまでの研究を概観し, 特に講演者が関わってきたエネルギー解の漸近形付近に於ける漸近挙動に関する定性的および定量的な研究について, 講演者以外の結果も交えながら解説したい.

第18回 大分大学 解析セミナー

日時：2025年7月26日(土) 13:30～15:00

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：中島　慶人 氏（東北大学）

題目：非整数階時間微分と時間依存する汎関数の劣微分作用素を含む非線形抽象発展方程式の可解性と応用

要旨：1階時間微分を含む抽象発展方程式の理論はこれまで精力的に研究されており, そこで得られた抽象論の成果は, 具体的な勾配流方程式などへ広く応用されてきた. 一方非整数階時間微分は, 初期時刻からの関数全体の挙動に依存する非局所性など, 解析上のさまざまな困難を伴うため, 非整数階時間微分を含む発展方程式の研究は現在も発展途上にある. 本研究では, 非整数階時間微分を含む時間依存を伴う劣微分作用素をもつ抽象発展方程式の可解性に関して得られた結果を述べる. さらに, 得られた結果を領域が時間とともに変化する退化拡散方程式へ応用する.

第17回 大分大学 解析セミナー

日時：2025年2月7日(金) 16:30～18:00

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：Reinhard Racke 氏（University of Konstanz）

題目：Transmission problems in (thermo-)viscoelasticity with Kelvin-Voigt damping

要旨：We discuss transmission problems between a (thermo-)viscoelastic system with Kelvin-Voigt damping, and a purely elastic system. It is shown that neither the elastic damping by Kelvin-Voigt mechanisms nor the dissipative effect of the temperature in one material can assure the exponential stability of the total system when it is coupled through transmission to a purely elastic system. The approach shows the lack of exponential stability using Weyl's theorem on perturbations of the essential spectrum. Instead, strong stability can be shown using the principle of unique continuation. To prove polynomial stability we provide an extended version of the characterizations of Borichev and Tomilov. Observations on the lack of compacity of the inverse of the arising semigroup generators are included too. The results apply to thermo-viscoelastic systems, to purely elastic systems as well as to the scalar case consisting of wave equations.

第16回 大分大学 解析セミナー

日時：2025年2月7日(金) 14:30～16:00

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：Nicolas Schlosser 氏（University of Konstanz）

題目：Relaxation and Optimal Control of Age- and Space-structured Epidemic Models

要旨：Epidemic modeling has long been an important field of research, and the recent Covid-19 pandemic has shown its importance to everyday life. Often, in order to increase accuracy and applicability of the models, a PDE approach is used, thus allowing for modeling spread of infections over countries or accounting for age-depend model parameters such as mortality, infectivity, etc. In this talk, we analyze the structure of epidemic models with age and space structure where, instead a diffusion process, the spatial spread is modeled by a wave-like process. This remedies the infinite propagation speed of diffusion equations, but has its own set of interesting mathematical problems, such as the equation neither being purely parabolic nor purely hyperbolic. We discuss the existence of solutions and the convergence of the model towards a diffusion model when the relaxation parameter becomes arbitrary small.

第15回 大分大学 解析セミナー

日時：2024年2月10日(土) 16:30～18:00

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：愛木 豊彦 氏（日本女子大学）

題目：1次元圧縮性弾性体の変形や移動を表す数理モデルとその応用について

要旨：圧縮性弾性体とは微小変位を仮定しない，つまり，歪みが大きい値や －1 より大きい負の値を取りうることを意味している。 また，平面上の曲線の運動を考察対象とするため，変位ではなく位置を未知関数とするモデルを扱う。 従って，歪みは未知関数の導関数の絶対値を含むため，歪みは未知関数の導関数に関して，特異点を持つ非線形な関数によって定義される。 このような非線形歪みを解析的に扱うために，本研究では応力も歪みに関する特異点をもつ関数として定義する。 本講演では，歪みや応力の定義の背景を述べた後，本モデルに対する数値計算結果をもとに，非線形歪みや特異点を持つ応力関数によるモデルの妥当性を議論する。 さらに，このモデルの応用として，弾性衝突に対する新たな数理モデルを提唱し，簡単な場合の数値計算結果を踏まえて新モデルの妥当性も示したい。 なお，本講演の内容は小杉千春氏（山口大学）との共同研究の成果に基づく。

第14回 大分大学 解析セミナー

日時：2024年2月10日(土) 14:30～16:00

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：沖田 匡聡 氏（久留米工業高等専門学校）

題目：Navier-Stokes方程式の時間局所解の存在時間延長について

要旨：全空間上の非圧縮性 Navier-Stokse 方程式は初期値が滑らかな場合、 ある時刻Tまでの滑らかな時間局所解の存在が知られている。 この存在時刻Tをどこまで延長できるかは大きな問題であるが、解が Serrin の条件を満たせば、 時刻Tで爆発することなく、時刻Tを越えて、滑らかな解としての存在時間を 延長できることが知られている。 本講演では、滑らかな解に時間Tにおける爆発に関するある条件を仮定すれば、爆発せず存在時間を延長できることを示す。 これにより、時間可積分性について Serrin の条件を弱めることが出来たことを報告する。 証明では、時刻 t、空間変数 x を固定した場合の t、x におけるNavier-Stokse 方程式の新しい解表示を導入し、条件下の元で解のアプリオリ評価の導出を行う。

第12回 大分大学 解析セミナー

日時：2023年6月17日(土) 16:10～17:40

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：岩崎 悟 氏（大阪大学）

題目：メトリックグラフ上の反応拡散方程式に特有の解について

要旨：メトリックグラフとは一次元領域が分岐したような空間領域であり、そのような空間領域上の偏微分方程式をメトリックグラフ上の偏微分方程式と呼ぶ。 メトリックグラフ上の偏微分方程式は、その空間分岐点の影響から、単なる空間一次元領域上の偏微分方程式とは異なる振る舞いをする解が現れることが知られている。 本講演では、Fisher-KPP方程式やAllen-Cahn方程式などのメトリックグラフ上の反応拡散方程式に対して、メトリックグラフを考えるからこそ現れる解について、理論的・数値的な解析結果を紹介する。 具体的には、進行波解のような全域解の空間分岐点でのブロッキング現象などを紹介する。 また、時間が許せば、最後にメトリックグラフ上の熱拡散方程式に対する逆問題についても簡単に紹介をする。

第11回 大分大学 解析セミナー

日時：2023年6月17日(土) 14:30～16:00

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：小杉 千春 氏（山口大学）

題目：圧縮性弾性体の伸縮運動を表す非線形偏微分方程式の解の挙動に関する考察

要旨：本講演では、空間1次元で定義された弾性体の平面上での伸縮運動を表すbeam方程式に、 物体がもつエネルギーの時間変化を表す粘性項を加えた方程式の解の時間大域挙動を考察する。 beam方程式は空間2次元で定義された弾性体の方程式の近似としてよく用いられているが、 本研究のように空間1次元で定義された弾性体の方程式の近似としての妥当性は未検証である。 そこで、本研究では、扱う方程式の定常解の形状と物理的解釈が明確でないbeam方程式の空間４階微分項の係数との関係を明らかにし、 空間１次元での近似の妥当性を明らかにすることを目的とする。 まず、これまでに得られているbeam方程式からなる非線形偏微分方程式の初期値境界値問題の可解性について述べる。 次に、この問題に対する定常問題の解の存在とω-limit setが空でないことを示す。 この証明では、初期値境界値問題の時間大域解が定常解に収束する部分列をもつことを示すが、 その際に得られた時間に無関係な一様評価から、初期値の条件を変えることなく初期値境界値問題の解の正則性を上げることができた。 講演では主に、この鍵となる不等式の導出のアイデアを紹介する。本講演は、愛木豊彦教授（日本女子大学・理学部）との共同研究に基づく。

第10回 大分大学 解析セミナー

日時：2022年2月19日(土) 16:10～17:40

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：伊藤　涼 氏（神奈川大）

題目：反応拡散方程式の非有界な進行波解

要旨：反応拡散方程式の非有界な進行波解の存在を， 空間１次元かつ特殊な形の非線形項に対して考察する． 単安定型の非線形項に対しては， ２つの零点をつなぐ進行波解の存在が知られている． 本講演では「非線形項をいろいろ動かして， 零点の１つが無限大になってしまったとき， 零点と無限大をつなぐ進行波解は存在するか？」という問いを考える． 対象とする非線形項の典型例は線形関数である． 古典的な進行波解の理論を非有界な進行波解も含めた枠組みで考え直すことにより， 進行波解の最小速度を決定するための条件式が非線形項の比較として捉え直すことができる． 本講演の内容は明治大学の二宮広和氏との共同研究に基づく．

第9回 大分大学 解析セミナー

日時：2022年2月19日(土) 14:30～16:00

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：喜多 航佑 氏（早稲田大学）

題目：Qualitative theory of solutions to parabolic equations with nonlinear boundary conditions

要旨：本講演では非線形境界条件を伴う放物型方程式の解の定性的な性質について考える。 ステファンボルツマンの法則に想起される(境界において熱を放射するような)非線形境界条件は物理学的にも重要な研究対象であるが、 この様な境界条件下での放物型偏微分方程式に対しては未だ十分な研究が行われているとは言えない。 本講演では、非線形境界条件下の藤田型方程式の局所適切性について簡単に述べた後、 非線形境界条件下での解析に有用な新たな枠組みでの比較定理を紹介し、 その応用として有界領域における藤田型方程式の臨界現象(時間大域解の存在・ 非存在)が境界条件によって特徴付けられることを示す。 また、モスコ収束を用いた非線形発展方程式の解の収束の理論の観点から、臨界の境界条件が冪乗型の非線形境界条件より自然に現れるということを明らかにする。 本講演の内容は大谷光春名誉教授(早稲田大学)との共同研究に基づくものである。

第8回 大分大学 解析セミナー

日時：2019年12月7日(土) 16:30～

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：久藤 衡介 氏（早稲田大学）

題目：拡散ロジスティック方程式の最適棲息問題と$L^1$非有界な定常解の列の存在について

要旨：生物種の個体群密度の時空的変化を記述する拡散ロジスティック方程式の定常解について考える． この方程式について， W.-M.Ni は「拡散係数と資源関数（餌の分布に対応する関数）を様々に変化させて， 定常解（生物種の定常分布）と資源関数の$L^1$ノルムの比を最大化せよ」という問題を提出している(2010頃)． 空間１次元のケースでは，X.Bai-X.He-F.Li (2015)によって， その比の上限が３であって， 上限に至る拡散係数と資源関数の列が示されているが， 対応する解の列の形状については詳しくは分かっていなかった． 本講演の前半部では，Baiたちの発見した解の列に対して， その形状を明らかにする． 後半部では，空間多次元のケースだと， 拡散係数と資源関数の列を適当に選べば， 定常解と資源関数の$L^1$ ノルムの比が発散することを示す． 本講演の前半部は井上順平氏（電気通信大学大学院M2）の研究紹介であり， 後半部は井上氏と講演者の共同研究に基づく．

第7回 大分大学 解析セミナー

日時：2019年6月29日(土) 17:05～

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：兼子 裕大 氏（日本女子大学）

題目：Positive bistable項を伴う反応拡散方程式の解の伝播形状について

要旨：本講演では、反応拡散方程式の自由境界問題における解の漸近挙動について考える。 ここで自由境界問題とは、方程式を満たす密度関数と、 時間に依存する境界の2つを同時に求める問題である。 最近、2つの正の安定平衡点を持つ反応項f (Positive Bistable項と呼ぶ)の場合に、 様々な興味深い性質が明らかになってきた。Kawai-Yamada (2016)は、 解の漸近挙動について有界区間上の一様収束の意味で分類を行い、f の大小2つの安定点に対応するspreading挙動を示した。 そこで次のステップとして、 自由境界付近も含めた領域全体での収束について考える。 このとき、前述の大きなspreading挙動はさらに次の2つの場合に分かれることを示した。
i) f の大きな安定点に対応するSemi-wave関数に収束する
ii) f の2つの安定点を結ぶ進行波と小さな安定点に対応する Semi-wave関数を組合せたpropagating terraceに収束する
本講演では後者の証明を中心に、2段階の伝播を伴うテラス解の構成法と、数理生態学の侵入現象との関連性について紹介したい。 本講演の内容は、松澤寛氏(沼津高専)と山田義雄教授(早稲田大学)との共同研究に基づく。

第6回 大分大学 解析セミナー

日時：2019年6月29日(土) 15:15～

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：奥村 真善美 氏（大阪大学）

題目：動的境界条件下のCahn-Hilliard方程式に対する構造保存スキームの構成と解析

要旨：本講演では, 動的境界条件と呼ばれる, その条件内に未知関数の時間微分を含む境界条件を伴うCahn-Hilliard方程式系に対する構造保存スキームについて考える. この系に対する数値計算の先行研究は, 理論的な結果に比べると多くはない. 差分法では, Fukao-Yoshikawa-Wada (2015)により, 境界の外向き法線方向微分を前進差分で近似した, 離散変分導関数法(DVDM)による構造保存スキームの結果が報告されている. ここで, DVDMでは, 方程式を特徴づけるエネルギーという量をどう離散化するかが重要となることに注意したい. 今回は, そのエネルギーの離散化を従来のものから修正し, 適切な部分和分公式を用いることによって, 境界の外向き法線方向微分を中心差分で近似した構造保存スキームを構成することができた. 本講演では, 主に提案スキームの構成の仕方, 数値実験結果, そしてスキームの可解性及び誤差評価について報告する.

第5回 大分大学 解析セミナー

日時：2018年12月5日(水) 16:30～

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：柏原 崇人 氏（東京大学）

題目：滑らかな領域における楕円型・放物型ノイマン境界値問題に対する有限要素法の$L ^{\infty} $ 誤差評価について

要旨：楕円型および放物型問題に対する$L ^{\infty} $ ノルム（最大値ノルム）による汎用的な誤差評価手法の開発については， 1970年代のJ.A. Nitsche, A.H. Schatz, L.B. Wahlbinを含む先駆者の研究以来， 多くの貢献がなされ，現在では標準的な証明法が確立されたと言える状況にある． 一方で，有限要素法で滑らかな領域（曲がった境界を持つ領域）を扱う際は， 多角形や多面体領域で近似した上で三角形分割・有限要素空間の導入・定式化を行うのが最も基本的であるが， そのような領域近似（領域摂動）に伴う誤差を考慮した厳密な$L ^{\infty} $ 誤差解析は， 斉次ディリクレ境界条件の場合しか知られていないと思われる． 本講演では，ポアソン方程式と熱方程式の非斉次ノイマン問題に対して， 領域摂動誤差を考慮した$L ^{\infty} $ 誤差評価を考察し， $O( h^2 | \log h|)$，すなわち領域摂動なしのP1要素の場合と同等の評価が得られたことを報告する． 証明の鍵は，汎用的な誤差評価手法において複数回用いられるガラーキン直交性が厳密には成立しなくなるものの， メッシュサイズが0になる極限のもとで漸近的に成り立つことを領域摂動評価を用いて示す点にある．

第4回 大分大学 解析セミナー

日時：2018年5月12日(土) 16:30～

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：矢崎 成俊 氏（明治大学）

題目：構造保存を目指した動く曲線の数値計算について

要旨：平面曲線が時々刻々と変形する運動は，流体運動，結晶成長，燃焼現象，化学反応，画像処理など， さまざまな現象や応用分野において登場する． 曲線の運動を記述する方法はオイラー的かラグランジュ的かによって二つに大別される． 前者は，等高面の方法やフェーズフィールド法，あるいは反応拡散方程式を用いる方法などの間接法が， 後者は，曲線を時空のパラメータ表示により表現する直接法が代表的である． 本講演では，直接法による近似解法を紹介する． 曲線を折れ線で近似し，さまざまな幾何学的量は対応する離散化された量で代用する． 離散化の仕方は数多くあるが，対象とする時間発展方程式がある種のエネルギー等式， あるいは不等式のような「構造」をもつ場合は，その構造を保存するような離散化が望まれる． 本講演では，さまざまな現象例とともに，そのような離散化の例のいくつかを紹介したい．

第3回 大分大学 解析セミナー

日時：2017年11月15日(水) 16:30～

場所：サテライトキャンパスおおいた（J:COM ホルトホール大分 内）

講師：岡本 葵 氏(信州大学)

題目：確率化された初期値をもつエネルギー臨界非線形Schrödinger方程式の初期値問題の可解性

要旨：初期値を確率化し，エネルギー臨界非線形Schrödinger方程式の初期値問題を考える． ゲージ不変性がない非線形項では，Ikeda and Inui(’15)により， $H^s$ ($s < 1$)にて解が非存在となる初期値の条件が示されているが， 確率化により，そのような初期値は除外される． 証明では，確率化された初期値をもつ線形Schrödinger方程式の解の摂動として求める解を捉える． 確率化によりStrichartz評価式は許容指数対でなくてもほとんど確実に成立する． このような確率的Strichartz評価式と双線形Strichartz評価式とを組み合わせることで， 摂動部分は初期値よりも高い正則性を持つことが得られる． なお，本講演の内容はTadahiro Oh氏(Univ. of Edinburgh), Oana Pocovnicu氏(Heriot-Watt Univ.)との共同研究に基づく．

第2回 大分大学 解析セミナー

日時：2017年4月15日(土) 15:30～

場所：福岡工業大学D棟D24教室

講師：竹田 寛志氏(福岡工業大学)

題目：構造的消散項をもつ波動方程式の解の大域挙動とその応用について

要旨：本講演では、構造的消散項をもつ波動方程式の漸近展開について考察する。 これまで、構造的消散項 $\nu(-\Delta)^{\sigma} u_{t}$ をもつ波動方程式に関しては、 Reissig、D'Abbiccoらによってその消散項のラプラシアンのべき $\sigma$ に応じた解の時間減衰評価が構成され、 Cauchy問題の解の性質が調べられてきた。 これに対し我々は、 $\sigma$のみならず係数 $\nu$ の値にも応じた漸近形を具体的に与えることでこの方程式の解が$\nu$ と $\sigma$ の値によって5種類に分類できることを示した。 その結果、Reissig-D'Abbicco による時間減衰評価の最適性が得られる。 また、 この解の漸近展開公式を応用して、藤田型の非線形問題の解の漸近展開公式や同じ消散項を持つ弾性波の長時間挙動にも言及する。 本講演の内容は一部、池畠良氏(広島大)との共同研究によるものである。

第1回 大分大学 解析セミナー

日時：2017年2月20日(月) 16:30～

場所：大分大学 教養教育棟41番教室

講師：隠居 良行氏(九州大学)

題目：Asymptotic behavior of solutions of the compressible Navier-Stokes equations under the slip boundary condition

要旨：In this talk I will consider large time behavior of solutions to the compressible Navier-Stokes equations in a 2D infinite layer under slip boundary condition. It is shown that if the initial data is sufficiently small, the global solution uniquely exists and the large time behavior of the solution is described by a superposition of one-dimensional nonlinear diffusion waves. I will also consider the problem in a cylinder. This talk is based on a joint work with Abulizi Aihaiti and Shota Enomoto (Kyushu University).